تخيل عشرة حمام يطيرون إلى فتحة الحمام التي صنعتها بنفسك، لكنك صنعت 9 فقط. أين يذهب الحمام الأخير؟ ما هي القصة وراء مبدأ مبدأ الحفرة؟

نظرًا لأن عدد سكان لندن يتجاوز الحد الأقصى لعدد الشعر على رأس الإنسان، فإن مبدأ الحفرة يتطلب أن على الأقل شخصين في لندن لديهما نفس عدد الشعر على رؤوسهما. هذا المبدأ الرياضي موجود منذ عام 1624.

مبدأ الحفرة

مبدأ الحفرة هو أحد أبسط المفاهيم في الرياضيات ولكنه ذو قيمة كبيرة. تم تسجيله منذ عام 1624. يُعرف عادةً بمبدأ صندوق ديريتل أو مبدأ درج ديريتل. (المصدر: Jeff 560)

في أبسط شرح له، ينص المبدأ على أنه إذا تجمّع عشرة حمام في تسع حفر، فإن على الأقل إحدى الحفر ستحتوي على أكثر من حمام واحد.

في النظرية: إذا كان X هو متوسط عدد الحمام لكل حفرة، وكان X ليس عددًا صحيحًا، فإن على الأقل إحدى الحفر ستحتوي على الحد الأقصى المسموح به من الحمام، وستحتوي الحفر المتبقية على أقل عدد ممكن من الحمام على الأرجح. (المصدر: Geeks For Geeks)

لتوضيح أكثر، إذا وُضع n+1 عنصر في n حاوية، فإن على الأقل حاوية واحدة ستحتوي على عنصرين أو أكثر. يُستخدم مبدأ الحفرة لإظهار أن النتائج يجب أن تكون صحيحة لأنها “كبيرة جدًا لتفشل”. هذا يعني أن على الأقل عنصرين سيتشاركان خاصية ما لأي عدد كبير من الأشياء مع حد أو عدد محدد من الخصائص. وتطبيقات هذا المبدأ مثيرة للاهتمام، ومفاجئة، وتدعو للتفكير. (المصدر: Stanford)

بعض أمثلة المبدأ

المثال الأول، كما ذُكر أعلاه، يوضح مبدأ الحفرة على النحو التالي: عدد سكان لندن مستثنياً الأشخاص الصلع حوالي 7.5 مليون. الحد الأقصى لعدد الشعر في الشخص المتوسط هو حوالي 150,000. سيُشير المبدأ إلى أن حوالي 50 شخصًا سيملكون نفس عدد الخيوط. (المصدر: Maths Careers)

بعد ذلك، لنفترض أن شخصين أو أكثر يقرؤون هذه المقالة وسيكون لديهما نفس تاريخ الميلاد. سيشير المبدأ إلى أن هناك 366 تاريخ ميلاد محتمل في سنة كبيسة. هذه المقالة لديها أكثر من 367 قارئًا. لذلك، اثنان منكم القراء لديهما نفس تاريخ الميلاد.

مثال آخر يكون عندما نتعامل مع مجموعة من أوراق اللعب العادية. إذا اختار شخص خمس أوراق من بين 52 ورقة في مجموعة أوراق اللعب القياسية، فإن ورقتين على الأقل من تلك الأوراق الخمس ستكونان من نفس النوع. للتوضيح، هناك أربعة أنواع في مجموعة أوراق اللعب العادية – الأندية، البستوني، القلوب، والماس. كل واحدة من الأوراق الخمس يجب أن تنتمي إلى أحد الأنواع الأربعة. وبالتالي، سيترتب على ذلك أن ورقتين من تلك الأوراق لهما نفس النوع. (المصدر: Mind Your Decisions) 

هل هناك تطبيق عملي لهذا المبدأ؟

مبدأ الفتحة يساهم في إثبات الضغط غير الفاقد المستخدم في علوم البيانات. ضغط البيانات هو النظرية التي تفترض إمكانية ضغط البيانات الواقعية ببساطة عن طريق حذف التكرارات.

هذه نظرية حاسمة تُستَخدم في عالم اليوم على شكل نقل البيانات، سواءً تم نقل المعلومات عبر الشبكة، أو أقراص DVD، أو محركات الفلاش، أو البريد الإلكتروني، على سبيل المثال لا الحصر.

فكرة الضغط غير الفاقد هي استبدال كل سلسلة بتات من المعلومات بسلسلة بتات أقصر. ومع ذلك، بمجرد فك ضغط السلسلة الأقصر، ستظل تُظهر المعلومات الكاملة للسلسلة الأصلية. (المصدر: Stanford)

مبدأ الفتحة يثبت إمكانية الضغط غير الفاقد حيث لا يمكن ضغط إلا البيانات المتكررة بشكل كبير، بحيث يشغل “طائرين” (قطعتان من البيانات) “فتحة واحدة” أو موضعًا واحدًا في سلسلة البتات. (المصدر: Stanford)