Gli studenti rimangono sbalorditi e confusi con il fatto matematico che 0.9999 = 1. Molti argomenti pre-calcolo rafforzano la verità dietro questo problema matematico molto dibattuto. Con la distanza apparentemente infinita tra 0.999 e 1, si può capire la difficoltà con la sua comprensione. 

La ripetizione del 9 dimostra di chiudere la distanza tra le due figure. Poiché ogni 9 viene aggiunto alla fine di 0.999..., il numero si avvicina sempre di più a 1, portando infine alla sua convergenza.

La convergenza definita da 0.999 a 1

La matematica è un argomento generalmente confuso per la maggior parte degli studenti delle scuole superiori, in particolare l'equazione veritiera 0.9999=1. La maggior parte delle persone presume che ci sarebbe un numero minuscolo che impedirebbe ai due di essere uguali. Se si vuole capire perché i numeri apparentemente infiniti di .9 equivalgono a 1, è necessario comprendere le lunghe espansioni decimali.

I decimali di terminazione e di lunghezza finita sono molto diretti. Sono frazioni che hanno come denominatore una potenza di dieci. 0.25 o la frazione 25/100 equivale a 1/4, 0.9 equivale a 9/10, questi decimali finali e di lunghezza finita possono servire allo scopo di estendere i decimali non finali.

Nel frattempo, i decimali infinitamente lunghi denotano una sequenza decimale compressa di lunghezza finita, il che significa che 0.9999 e così via rappresentano una successione di 9 secondi dopo il punto decimale. Il primo numero è 0.9, il successivo è 0.99 e il successivo è 0.999 e continua. Per ogni numero successivo, si aggiunge un numero 9 alla fine della figura precedente.

Detto questo, 0.99999 e così via non è una sequenza di numeri travolgente e infinita, ma un contributo di molti decimali finali. L'aggiunta di ogni 9 al numero intero chiude la sua distanza a 1 ogni volta poiché l'intervallo tra due numeri diversi è solo la differenza tra il numero più grande e il numero più piccolo.

Man mano che la cifra complessiva si avvicina sempre di più a 1, si può vedere che ogni numero intero più vicino a 1 denota una quantità finita di 9s dopo un punto decimale che è più vicino a chiudere la sua distanza a 1. Si può vedere che come la quantità di 9s dopo il punto decimale si allunga sempre di più, la successione converge a 1 come limite della sua successione. (Fonte: Business Insider)

Lo scetticismo dietro l'equazione

La consistente dubbiosità degli studiosi della verità 0.999 = 1 nonostante i tanti argomenti che ne dimostrano la correttezza ha un fondamento storico. Gli esperti hanno studiato questo fenomeno e determinato varie cause alla base dello scetticismo degli studenti.

Alcuni studenti tendono a percepire 0.999 come una cifra in costante cambiamento, poiché vedono il numero sempre più vicino all'1, con lo spazio tra le due cifre che non diminuisce mai. Questa percezione può essere associata al concetto aristotelico di potenziale infinito che afferma che 0.999 e così via è solo un'espansione decimale potenzialmente infinita.

I ricercatori hanno identificato due categorie del ragionamento di accettazione o rifiuto degli studenti. Il Identicità per prossimità e la Differenza infinitesimale hanno conclusioni diverse anche se usano la stessa linea di ragionamento. Mentre Identicità per prossimità conclude che i valori possono essere gli stessi poiché la differenza è infinitamente piccola, Differenza infinitesimale afferma che i valori saranno sempre diversi a causa della distanza infinitamente piccola tra i valori. (Fonte: L'insegnante di matematica)