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9を繰り返すことは1に等しいですか?

学生は、0.9999 = 1であるという数学的事実に頭を悩ませ、混乱し続けています。多くの微積分前の議論は、この激しく議論されている数学的問題の背後にある真実を強化します。 0.999と1の間の一見無限の距離で、その理解の難しさを理解することができます。 

9の繰り返しは、9つの図の間の距離を閉じることを証明します。 0.999の終わりに1ごとに追加されると、数値はXNUMXに近づき、最終的には収束します。

0.999対1の明確な収束

数学は、ほとんどの高校生にとって一般的に紛らわしいトピックであり、特に真実の0.9999 = 1方程式です。 ほとんどの人は、9つが等しくなるのを妨げる小さな数があるだろうと思います。 一見無限に見える.1の数がXNUMXに等しい理由を理解したい場合は、長いXNUMX進数の展開を理解する必要があります。

終了および有限長の小数は、非常に直接的な方法です。 それらは、分母として0.25の累乗を持つ分数です。 25または分数100/1は4/0.9に相当し、9は10/XNUMXに相当します。これらの終了および有限長の小数は、非終了小数を拡張する目的に使用できます。

一方、無限に長い小数は、圧縮された有限に長い小数シーケンスを示します。つまり、0.9999などは、小数点以下9の連続を表します。 最初の数値は0.9、次の数値は0.99、次の数値は0.999であり、継続します。 次の番号ごとに、前の図の最後に番号9を追加します。

そうは言っても、0.99999などは、圧倒的で終わりのない数字のシーケンスではなく、多くの終了小数の寄与です。 整数に各9を加算すると、1つの異なる数値の間隔が大きい数値と小さい数値の差にすぎないため、毎回距離がXNUMXに近づきます。

全体の数値が1に近づくにつれて、1に近いすべての整数は、9に近い距離に近い小数点の後に1秒の有限量を示すことがわかります。小数点がどんどん長くなると、シーケンスはそのシーケンスの限界として9に収束します。 (ソース: ビジネスインサイダー)

方程式の背後にある懐疑論

その正しさを証明する多くの議論にもかかわらず、0.999 = 1の真実の学生の一貫した疑念には、歴史的な根拠があります。 専門家はこの現象を研究し、学生の懐疑論の背後にあるさまざまな根本的な原因を特定しました。

一部の生徒は、0.999を絶えず変化する数字として認識する傾向があります。これは、数字が1に近づくにつれて、0.999つの数字の間のスペースが減少することはないためです。 この認識は、XNUMXなどが潜在的に無限の小数展開にすぎないと述べているアリストテレスの潜在的な無限大の概念に関連付けることができます。


研究者は、学生の受け入れまたは拒否の理由のXNUMXつのカテゴリーを特定しました。 NS 近接による同一性微小な違い 同じ推論を使用していても、結論は異なります。 その間 近接による同一性 差が無限に小さいので、値は同じである可能性があると結論付けます。 微小な違い 値の間の距離が無限に小さいため、値は常に異なると述べています。 (ソース: 数学教育者)

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