В 1867 году Уильям Томсон, позднее известный как лорд Кельвин, увидел дымовые кольца и представил себе Вселенную, завязанную в петли. Шотландский физик Питер Тейт экспериментировал с такими кольцами, а Томсон сделал из них грандиозный вывод: атомы могут быть узлами вихрей, закрученных в эфире, а разные элементы соответствуют разным узлам и сцеплениям.[3]
С тех пор как в XIX веке оформилась теория узлов, математики занесли в таблицы более шести миллиардов узлов и сцеплений. Такой подсчёт возможен потому, что узел здесь понимается не как развязавшийся шнурок, а как замкнутая петля, запутанную форму которой можно классифицировать.
Атомная теория Кельвина в конце концов была отвергнута, но задача учёта пережила её. Даже если натрий и золото не оказались крошечными вихревыми узлами, вопрос, скрывавшийся за этой ошибкой, сохранил силу: сколькими по-настоящему разными способами может быть запутана петля?
Математический узел устроен строже, чем узел на шнурке. У шнурка есть концы, поэтому его можно развязать. В теории узлов концы соединены, образуя замкнутую петлю. Самый простой случай — обычное кольцо, называемое тривиальным узлом. Более интересный узел — это петля, которую нельзя разгладить обратно в такое кольцо, не разрезав её и не протащив через саму себя.[2]
Каталог, переросший интуицию
На бумаге первая задача выглядит почти как головоломка. Нарисуйте одно переплетение. Нарисуйте другое. Решите, действительно ли они различны или одно — всего лишь растянутая, перекрученная либо повёрнутая версия другого. Специалисты по теории узлов называют два узла эквивалентными, если один можно превратить в другой, деформируя пространство вокруг него, но не разрезая петлю и не заставляя её проходить сквозь саму себя.[2]
Один и тот же узел также может выглядеть по-разному на разных диаграммах. Два рисунка, которые кажутся несвязанными, могут описывать одну и ту же замкнутую петлю, и это делает классификацию куда сложнее простого визуального сравнения. Чтобы различать узлы, математики используют инварианты узлов — величины, которые остаются неизменными при разных описаниях. Среди важных примеров — полиномы узлов, группы узлов и гиперболические инварианты.[4]
Первые основатели теории узлов стремились составлять таблицы узлов и сцеплений, где сцепления означают несколько узловых компонентов, переплетённых друг с другом. С момента зарождения теории узлов в XIX веке в такие таблицы внесли более шести миллиардов узлов и сцеплений.[4] На таком масштабе привычный простой узел, завязанный рукой, начинает почти вводить в заблуждение: маленькое бытовое движение открывает путь к огромной математической переписи.
Задолго до появления этих таблиц люди завязывали узлы для крепления, записи информации, лазания, мореплавания, украшения и религиозной символики. Бесконечный узел встречается в тибетском буддизме, а Келлская книга содержит сложные кельтские узорные переплетения.[3] Математика не изобрела человеческое увлечение узлами. Она превратила его в задачу подсчёта.
Когда химики начали завязывать молекулы
В 1989 году химик Жан-Пьер Соваж создал первый синтетический химический узел — трилистник, нити которого пересекаются ровно в трёх точках. Позднее Соваж разделил Нобелевскую премию по химии 2016 года за работу над молекулярными машинами.[1] Форма из теории узлов была собрана из молекул.
В последующие годы химическая сторона сильно отставала от математической. Дэвид Ли из Манчестерского университета позднее говорил, что следующие 25 лет химики не могли создавать узлы сложнее этого первого синтетического класса.[1] Таблицы продолжали расти, а лаборатория могла добраться лишь до нескольких самых простых форм.
Позднее команда Ли создала то, что Journal of Young Investigators в 2017 году назвал самым тугим узлом из когда-либо созданных. В работе, опубликованной в Science, манчестерские химики с помощью синтетической химии сплели молекулярные нити в структуру с более чем восемью пересечениями.[1] Этот узел также описывали как разновидность молекулярной машины — часть пути к механизмам, работающим в молекулярном масштабе.[1]
Так эта тема удерживается между двумя видами малости: таблицей с более чем шестью миллиардами записей и молекулярной нитью, которую удалось уговорить пересечь саму себя нужным образом. Дымовые кольца Кельвина исчезли, но петля осталась — замкнутая сама на себя и ожидающая подсчёта.
