Im Jahr 1867 sah William Thomson, später bekannt als Lord Kelvin, Rauchringe und stellte sich das Universum als in Schleifen gebunden vor. Der schottische Physiker Peter Tait hatte mit solchen Ringen experimentiert, und Thomson zog daraus eine kühne Schlussfolgerung: Atome könnten Knoten wirbelnder Vortices im Äther sein, wobei verschiedene Elemente verschiedenen Knoten und Verkettungen entsprächen.[3]
Seit die Knotentheorie im 19. Jahrhundert Gestalt annahm, haben Mathematiker mehr als sechs Milliarden Knoten und Verkettungen katalogisiert. Diese Zahl ergibt sich daraus, dass ein Knoten nicht als loser Schnürsenkel betrachtet wird, sondern als geschlossene Schleife, deren verschlungene Form klassifiziert werden kann.
Kelvins Atomtheorie wurde schließlich verworfen, doch das Ordnungsproblem überlebte sie. Wenn Natrium und Gold keine winzigen Wirbelknoten waren, blieb die Frage hinter dem Irrtum dennoch brisant: Auf wie viele wirklich verschiedene Arten kann eine Schleife verschlungen sein?
Ein mathematischer Knoten ist strenger definiert als ein Knoten in einem Schnürsenkel. Ein Schnürsenkel hat Enden, also kann man ihn aufbinden. In der Knotentheorie werden die Enden verbunden, sodass eine geschlossene Schleife entsteht. Der einfachste Fall ist ein schlichter Ring, der Unknoten genannt wird. Interessanter ist ein Knoten, der nicht wieder zu diesem Ring geglättet werden kann, ohne ihn zu zerschneiden oder durch sich selbst hindurchzuführen.[2]
Der Katalog, der die Anschauung sprengte
Auf dem Papier wirkt die erste Aufgabe fast wie ein Rätsel. Zeichne ein Gewirr. Zeichne ein anderes. Entscheide, ob sie wirklich verschieden sind oder ob das eine nur eine gedehnte, verdrehte oder gedrehte Version des anderen ist. Knotentheoretiker nennen zwei Knoten äquivalent, wenn sich der eine in den anderen überführen lässt, indem man den Raum um ihn herum verformt, ohne die Schleife zu schneiden oder sie durch sich selbst zu zwingen.[2]
Ein einzelner Knoten kann außerdem in vielen Diagrammen erscheinen. Zwei Zeichnungen, die völlig unterschiedlich aussehen, können dieselbe geschlossene Schleife beschreiben, was die Klassifikation schwieriger macht als ein einfaches Sortieren nach dem Aussehen. Mathematiker verwenden Knoteninvarianten, also Größen, die bei verschiedenen Darstellungen gleich bleiben, um Knoten voneinander zu unterscheiden. Wichtige Beispiele sind Knotenpolynome, Knotengruppen und hyperbolische Invarianten.[4]
Die frühen Begründer der Knotentheorie wollten Tabellen von Knoten und Verkettungen erstellen; mit Verkettungen sind mehrere verknotete Komponenten gemeint, die miteinander verschlungen sind. Seit den Anfängen der Knotentheorie im 19. Jahrhundert wurden mehr als sechs Milliarden Knoten und Verkettungen katalogisiert.[4] Der vertraute einfache Knoten, den man mit der Hand bindet, wirkt in diesem Maßstab fast irreführend: eine kleine alltägliche Geste, die sich zu einer gewaltigen mathematischen Bestandsaufnahme öffnet.
Lange vor diesen Tabellen knüpften Menschen Knoten zum Befestigen, zum Festhalten von Informationen, zum Klettern, Segeln, Schmücken und als religiöse Symbole. Der endlose Knoten erscheint im tibetischen Buddhismus, und das Book of Kells enthält kunstvolle keltische Knotenmuster.[3] Die Mathematik hat die menschliche Faszination für Knoten nicht erfunden. Sie hat dieser Faszination ein Zählproblem gegeben.
Als Chemiker begannen, Moleküle zu verknoten
1989 erzeugte der Chemiker Jean-Pierre Sauvage den ersten synthetischen chemischen Knoten: einen Kleeblattknoten, dessen Stränge sich an genau drei Stellen kreuzen. Sauvage erhielt später gemeinsam mit anderen den Nobelpreis für Chemie 2016 für Arbeiten an molekularen Maschinen.[1] Eine Form aus der Knotentheorie war aus Molekülen gebaut worden.
In den Jahren danach blieb die chemische Seite weit hinter der mathematischen zurück. David Leigh von der University of Manchester sagte später, Chemiker hätten in den folgenden 25 Jahren keine komplizierteren Knoten herstellen können als diese erste synthetische Klasse.[1] Die Tabellen wuchsen weiter, während das Labor nur einige der einfachsten Formen erreichen konnte.
Leighs Team stellte später her, was das Journal of Young Investigators 2017 als den engsten jemals erzeugten Knoten beschrieb. In einer in Science veröffentlichten Arbeit nutzten die Chemiker aus Manchester synthetische Chemie, um molekulare Stränge zu einer Struktur mit mehr als acht Kreuzungen zu flechten.[1] Der Knoten wurde außerdem als eine Art molekulare Maschine beschrieben, als Teil eines Weges hin zu Maschinen, die auf molekularer Ebene arbeiten.[1]
Damit bleibt das Thema zwischen zwei Arten von Kleinheit ausbalanciert: einer Tabelle mit mehr als sechs Milliarden Einträgen und einem molekularen Strang, der dazu gebracht wird, sich genau richtig zu kreuzen. Kelvins Rauchringe sind verschwunden, doch die Schleife bleibt, in sich geschlossen, und wartet darauf, gezählt zu werden.
