1867年、のちにケルヴィン卿として知られるウィリアム・トムソンは、煙の輪を見て、宇宙が輪のように結ばれている姿を思い描いた。スコットランドの物理学者ピーター・テイトがその煙の輪を使って実験しており、トムソンはそこから壮大な結論を導いた。原子とは、エーテルの中で渦を巻く結び目であり、元素の違いは結び目や絡み目の違いに対応しているのではないか、という考えだった。[3]
19世紀に結び目理論が形を成して以来、数学者たちは60億以上の結び目と絡み目を一覧化してきた。この数は、結び目をほどけかけた靴ひもとしてではなく、絡み方によって分類できる閉じた輪として扱うところから生まれている。
ケルヴィンの原子論はやがて姿を消したが、数え上げるという問題は残った。ナトリウムや金が小さな渦の結び目ではなかったとしても、その誤りの奥にあった問いにはなお力があった。ひとつの輪は、本当に異なる方法でいくつ絡ませることができるのだろうか。
数学でいう結び目は、靴ひもの結び目よりも厳密なものだ。靴ひもには端があるため、ほどくことができる。結び目理論では、その端同士をつないで閉じた輪にする。もっとも単純な場合は、何の絡みもないただの輪で、「自明な結び目」と呼ばれる。より興味深い結び目とは、切ったり自分自身をすり抜けさせたりしない限り、その輪へなめらかに戻せないような輪のことだ。[2]
直感を超えて膨れ上がったカタログ
紙の上では、最初の作業はまるでパズルのように見える。ひとつの絡まりを描く。別の絡まりを描く。それらが本当に違うのか、それとも一方を引き伸ばしたり、ねじったり、回転させたりしただけなのかを判断する。結び目理論では、輪を切ったり、自分自身の中を無理に通したりせず、周囲の空間を変形させることで一方を他方に変えられるとき、ふたつの結び目は同値だという。[2]
ひとつの結び目も、多くの図として表すことができる。見た目には無関係に見えるふたつの図が、同じ閉じた輪を表していることもあり、そのため分類は単なる見た目の仕分けよりずっと難しい。数学者は結び目を区別するために、異なる表し方の間でも変わらない量である「結び目不変量」を用いる。重要な例には、結び目多項式、結び目群、双曲不変量などがある。[4]
結び目理論の初期の研究者たちは、結び目と絡み目の表を作ろうとした。ここでいう絡み目とは、複数の結ばれた成分が互いに絡み合っているものを指す。19世紀に結び目理論が始まって以来、60億を超える結び目と絡み目が表にまとめられてきた。[4] 手元で作る見慣れた一重結びは、その規模を前にするとほとんど人を惑わせるほど小さな存在に見える。日常のささやかな動作の先に、巨大な数学的国勢調査が広がっているのだ。
そうした表が作られるはるか以前から、人々は固定、情報の記録、登山、航海、装飾、宗教的象徴のために結び目を用いてきた。チベット仏教には「エンドレスノット」が見られ、『ケルズの書』には精巧なケルト風の結び目模様が描かれている。[3] 数学が、人間の結び目への興味を生み出したわけではない。数学はその興味に、数え上げるべき問題を与えたのだ。
化学者が分子を結び始めたとき
1989年、化学者ジャン＝ピエール・ソヴァージュは、初の合成化学結び目を作り出した。それは交差点がちょうど3つある三葉結びだった。ソヴァージュはのちに、分子機械の研究により2016年のノーベル化学賞を共同受賞している。[1] 結び目理論の形が、分子によって実際に作られたのだ。
その後長い間、化学の側は数学の側に大きく遅れを取っていた。マンチェスター大学のデイヴィッド・リーは後年、続く25年間、化学者たちは最初に合成されたその種類より複雑な結び目を作ることができなかったと語っている。[1] 表は増え続けたが、実験室で手が届いたのは、ごく単純な形のいくつかだけだった。
リーのチームはその後、Journal of Young Investigatorsが2017年に「これまで作られた中でもっともきつい結び目」と表現したものを作製した。Scienceに発表されたその研究で、マンチェスターの化学者たちは合成化学を用い、分子の鎖を編み込んで8回を超える交差を持つ構造を作り上げた。[1] その結び目は分子機械の一種とも説明され、分子スケールで動作する機械へ向かう道の一部とされた。[1]
こうしてこのテーマは、ふたつの「小ささ」の間で釣り合っている。60億を超える項目を持つ表と、正しい向きに交差するよう導かれた分子の鎖である。ケルヴィンの煙の輪は消え去ったが、輪そのものは残っている。自分自身に閉じたまま、数えられるのを待っている。
