Os alunos permanecem estupefatos e confusos com o fato matemático de que 0.9999 = 1. Muitos argumentos pré-cálculo reforçam a verdade por trás desse problema matemático altamente debatido. Com a distância aparentemente infinita entre 0.999 e 1, pode-se entender a dificuldade de sua compreensão.
A repetição de 9 prova diminuir a distância entre as duas figuras. Como cada 9 é adicionado no final de 0.999…, o número fica cada vez mais próximo de 1, levando eventualmente à sua convergência.
A Convergência Definida de 0.999 para 1
Matemática é um tópico geralmente confuso para a maioria dos alunos do ensino médio, especialmente a equação verdadeira 0.9999 = 1. A maioria das pessoas presume que haveria um número minúsculo que impediria os dois de serem iguais. Se quisermos entender por que os números aparentemente infinitos de 9 são iguais a 1, precisamos entender as expansões decimais longas.
Decimais de terminação e finitamente longos são muito diretos em sua maneira. São frações que têm uma potência de dez como denominador. 0.25 ou a fração 25/100 equivale a 1/4, 0.9 equivale a 9/10, esses decimais de terminação e finitamente longos podem servir ao propósito de estender decimais sem terminação.
Enquanto isso, decimais infinitamente longos denotam uma seqüência decimal compactada finitamente longa, o que significa que 0.9999 e assim por diante representam uma sucessão de 9s após a vírgula decimal. O primeiro número é 0.9, o seguinte é 0.99 e o próximo é 0.999 e continua. Para cada número seguinte, adiciona-se um número 9 ao final da figura anterior.
Com isso dito, 0.99999 e assim por diante não é uma sequência de números esmagadora e interminável, mas uma contribuição de muitos decimais finais. A adição de cada 9 ao número inteiro fecha sua distância para 1 toda vez, pois o intervalo entre dois números diferentes é apenas a diferença entre o número maior e o número menor.
À medida que o número geral fica cada vez mais próximo de 1, pode-se ver que cada número inteiro mais próximo de 1 denota uma quantidade finita de 9s após uma vírgula decimal que está mais perto de fechar sua distância para 1. Pode-se ver isso como a quantidade de 9s após o ponto decimal fica cada vez mais longo, a sequência converge para 1 como o limite de sua sequência. (Fonte: business Insider)
O ceticismo por trás da equação
A dúvida consistente dos estudantes da verdade 0.999 = 1, apesar dos muitos argumentos que provam sua correção, tem uma base histórica. Os especialistas estudaram esse fenômeno e determinaram várias causas subjacentes ao ceticismo dos alunos.
Alguns alunos tendem a perceber 0.999 como uma figura em constante mudança, pois veem o número se aproximando cada vez mais de 1, com o espaço entre as duas figuras nunca diminuindo. Essa percepção pode ser associada ao conceito de infinito potencial de Aristóteles, que afirma que 0.999 e assim por diante é apenas uma expansão decimal potencialmente infinita.
Os pesquisadores identificaram duas categorias de raciocínio de aceitação ou rejeição dos alunos. o Igualdade por proximidade e os votos de Diferença Infinitesimal têm conclusões diferentes, embora usem a mesma linha de raciocínio. Enquanto Igualdade por proximidade conclui que os valores podem ser os mesmos, pois a diferença é infinitamente pequena, Diferença Infinitesimal afirma que os valores sempre serão diferentes por causa da distância infinitamente pequena entre os valores. (Fonte: O Educador de Matemática)